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De probabilidades

por Fernando Peregrín

De probabilidades

Acabo de leer este curioso titular en El Mundo: Si su número de la lotería acaba en 5 tiene más posibilidades de salir premiado. Sorprendido, leí la noticia que tenía que ver con el reintegro en el sorteo extraordinario de Navidad, y me encontré con este párrafo:

Así y por mucho que las leyes de la Estadística se empeñen en decir que todos y cada uno de los números del bombo tienen exactamente las mismas probabilidades de salir agraciados, lo cierto es que hay algunos que parecen tocados por la suerte.

Aparte de corregir que no se trata de estadística sino de probabilidades, es correcto lo que dice que todos los números tienen exactamente la misma probabilidad de salir agraciados.

Pero el artículo concluye:

De esta manera, ya cuenta con un dato más a la hora de escoger entre todos los billetes de lotería que encuentre en la administración. Eso sí, antes de lanzarse con esta estadística en la mano recuerde que se trata de la última cifra del número completo, es decir, la que nos garantiza el reintegro, no el ‘gordo’.

El dato se refiere a las estadísticas que proporciona el organismo Loterías del Estado, que ciertamente es llamativo a este respecto. Así:

el número 5 se lleva la palma de la suerte. Según indican los datos, este número ha salido un total de 32 veces a lo largo de los sorteos, mientras que el segundo posicionado, el número 4 ha resultado agraciado en 27 ocasiones.

El 6 ocupa el tercer lugar de esta curiosa clasificación (ha salido 26 veces), seguido del 3 y el 8, que empatan. Ambos han resultado premiados en una veintena de sorteos.

También se encuentran igualados el 0 y el 7, premiados en 19 ocasiones. Seguidamente nos encontramos con el 9 y el 2; agraciados en 16 y 13 sorteos, respectivamente.

La lista la cierra el número 1 a bastante distancia, ya que ha resultado ganador ‘solo’ ocho veces.

¿Existe alguna razón para que el número 5 tenga tan alta frecuencia, que llega a ser el cuádruplo del de menor frecuencia, el número 1? La única razón que se me ocurre es que se confunden las probabilidades con las estadísticas. Es decir, que la muestra dista mucho de los valores necesarios para explicar las frecuencias, que en el infinito, o sea, cuando la muestra sea suficientemente grande, tenderán a ser todas las terminaciones igualmente probables y por tanto las frecuencias serán todas las mismas. La muestra que sirve para los juegos y las curiosidades estadísticas es de tan solo de 200 sorteos.

En general, los humanos y otros animales superiores están dotados con un mecanismo cerebral, una serie de redes de neuronas, que sirven para manejar principios elementales de probabilidades. Inferir que de una pequeña muestra las frecuencias están relacionadas con las probabilidades, ha podido tener sus ventajas de adaptación y se ha podido trasmitir genéticamente.

No obstante, las intuiciones sobre frecuencias y probabilidades nos juegan a veces malas pasadas. Como por ejemplo, el apostar al color rojo en una ruleta porque el negro lleva saliendo un número grande de veces seguidas. Se argumentará que, debido a la igualdad de probabilidades entre el rojo y el negro – ambas no suman el 100% de los resultados posibles, ya que el cero no tiene color, lo que beneficia a la banca, que a la larga, gana incluso a los que juegan sólo al color – el color rojo tiene más probabilidades de salir que el negro, que lleva saliendo ya un buen número de juegos. Lo  cual no es cierto ya que en cada juego el rojo y el negro tienen igual probabilidad de salir premiado y la ruleta no tiene memoria de los rojos y negros que van saliendo.

Otro ejemplo de la facilidad con que nos equivocamos a la hora de pensar sobre probabilidades lo tenemos en el siguiente ejemplo que lo pongo como juego a los lectores.

Se trata de un típico concurso televisivo en el que hay un presentador, un jugador y tres puertas. Tras una de ellas está el premio, digamos que un buen coche. El presentador sabe detrás de que puerta se encuentra el coche. El juego consiste en que el concursante debe elegir una puerta en la que cree que está el coche. Una vez elegida la puerta, el presentador abre una de las dos puertas que no ha elegido el jugador, puerta en la que obviamente no está el coche, ya que el presentador sabe detrás de qué puerta se halla el premio.

Ahora supongamos que es usted el jugador, ¿qué decisión tomaría? ¿Mantener su primera elección de puerta o cambiar a la otra que queda sin abrir?

Espero sus respuestas en el apartado de comentarios…

7 Comentarios

  1. Teresa says

    Yo sé la respuesta. En realidad, sale en todos los libros que tratan estos temas. Pero nunca comprendí porqué se debe hacer lo que se debe hacer.

    Ya que estamos ¿por qué no lo cuenta? (dejando un tiempo para que haya más comentarios….)

  2. Este es el cocnocido problema de Monty Hall.
    Un “showman” de la TV te da a elegir entre tres grandes cajas cerradas. Una de ellas contiene un flamante automóvil, las otras dos están vacías. Con independencia de tu elección, el “showman”, -que conoce el contenido de cada caja-, antes de comprobar el de la elegida por ti, abre una de las otras dos que resulta estar siempre vacía y, a continuación, te ofrece la posibilidad de cambiar tu elección. ¿Te conviene el cambio?

    La solución es que conviene aceptar el cambio. Este resultado aparenta ir contra el sentido común y por ello suele dar lugar a enconadas discusiones. En efecto, parece que cuando el “showman” abre una de las cajas vacías, la probabilidad de acierto es ½ ya que ante nosotros quedan dos cajas en una de las cuales está el coche, y no hay indicios para inclinar nuestra decisión a favor de una de ellas.

    Sin embargo la realidad es que, si aceptamos el cambio, nuestra probabilidad de ganar, que en el momento inicial de la elección es de 1/3, aumenta hasta 2/3.

    Razonemos este resultado: llamemos a la que encierra el premio caja P y a las vacías, caja 1 y caja 2. Si mi elección fue la caja P y decido cambiar habré perdido, pero si mi elección fue la 1 habré ganado con el cambio; lo mismo sucede si mi elección hubiera sido la 2, luego si acepto el cambio tendré dos casos favorables frente a uno adverso.

  3. Muy interesante el post de las probabilidades!la verdad es que es un tema interesante que mezcla el estudio matemático con las convicciones populares.
    Hace poco vi la película “21 blackjack” en la que justamente el profesor que encarna kevin spacey lanza el mismo caso hipotético. Y justamente el brillante alumno, que hace de protagonista, contesta exactamente lo mismo que argumenta Juan.
    Yo en cambio,soy un pelín más “desconfiado” y pienso que en el primer intento se tiene un aparente 33% y en el segundo un real 50%. Eso da mayor audiencia, verdad? 😉

  4. Está bien el artículo, pero no menciona el concepto clave: independencia de sucesos. Así de fácil.

  5. Fernando Peregrín says

    Efectivamente, no se menciona la independencia de los sucesos, pues se da por supuesta.

    La solución de cambiar siempre de puerta (o de caja de sorpresas) es la correcta, ya que no se trata de sucesos independientes.

    Al elegir una puerta en el primer caso, tengo dos posibilidades de tres (2/3) de fallar; cuando el presentador me ofrezca cambiar o no de puerta, si no cambio sigo teniendo 1/3 de probabilidad a mi favor. Al cambiar de puerta estoy apostando a que mi primera elección estaba equivocada, opción que tiene, como ha quedado dicho, una probabilidad de 2/3

  6. Marco says

    Es importante mencionar la importancia de las probabilidades a posteriori, una vez se conoce un resultado hay que volver a calcular las probabilidades. Es lo que se conoce como el Teorema de Bayes.

  7. Interesante artículo.
    Mi opinión es que los humanos no sabemos lidiar con el concepto de «uncertainty». Demandamos valores absolutos para tomar decisiones vitales «entonces, éste 80% de probabilidad significa que voy a recaer?». Hasta que no se nos eduque como sociedad, a pensar en términos de probabilidad, seguiremos pensando que el número 5 es el que sale.
    Claro, harina de otro costal es, que para qué demonios queremos una sociedad que sea capaz de interpretar estadísticas y números. Los primeros en contra son los políticos…

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